Otimização multiobjetivo: a fronteira Pareto

A eficiência de Pareto ou otimalidade de Pareto estabelece uma relação de compromisso na alocação de recursos, no qual é impossível realocá-los de forma que todos os recursos sejam melhorados de forma conjunta. Considerando dois objetivos (recursos), por exemplo, a otimalidade Pareto é um estado no qual é impossível melhorar um dos objetivos, sem necessariamente piorar o outro.

Na otimização multiobjetivo, esse conceito é amplamente aplicado para a determinação do fronteira Pareto, isto é, o conjunto de pontos factíveis que não são dominados por nenhum outro ponto. Considerando um problema de minimização de dois objetivos f1 e f2, por exemplo, dizemos que o ponto B é dominado pelo ponto A, pois é possível passar de B para A, melhorando (minimizando) ambos objetivos.

dominance

Para ilustrar, vamos considerar um exemplo onde se deseja minimizar duas funções simultaneamente, ilustradas a seguir:

fx

Essas duas funções são bem simples, visualmente é possível determinar que o valor de x que minimiza f1(x) é o ponto x=0 e o ótimo de f2(x) é o ponto x=1. Para esse problema de minimização multiobjetivo, alguns pontos merecem destaque:

  • Para valores de x menores que 0 e para valores de x maiores que 1, ambas funções apresentam um comportamento similar, ambas são crescentes e “pioram” o valor de função, uma vez que o problema é de minimização. Para esses pontos, não há um tradeoff e qualquer solução pertencente a esses intervalos não seriam soluções ótimas ou eficientes;
  • Já para os valores de x entre 0 e 1, podemos perceber que há um compromisso na escolha de x: se caminharmos de x=0 para x=1, por exemplo, estamos diminuindo o valor de f2(x), ao passo que o valor de f1(x) aumenta. Semelhantemente é o que ocorre de x=1 para x=0, o valor de f1(x) melhora e o valor de f2(x) piora.

Como você já deve ter começado a perceber, todos os valores de x entre 0 e 1 são pontos Pareto-ótimos ou Pareto-eficientes. No espaço de objetivos, esses pontos fazem parte da fronteira Pareto. Idealmente, a fronteira Pareto é composta por infinitos pontos (existem infinitos valores de x entre 0 e 1), mas na prática, apenas uma amostra dessa fronteira é necessária para a tomada de decisão. A seguir, 10 pontos pertencentes à fronteira Pareto do problema acima são plotados.

pareto_final

Como é possível notar, não há uma relação de dominância entre os pontos pertencentes ao conjunto Pareto-ótimo. Ou seja, trocar de uma solução para outra, dentro desse conjunto de pontos, implica na piora de um dos objetivos. Além disso, dentro de todas as soluções possíveis, as soluções pertencentes à fronteira Pareto são as melhores. A imagem a seguir ilustra isso, os pontos em vermelho são os mesmos pontos apresentados acima, o pontos pretos são todos os pontos factíveis do problema (x<0 e x>1). Considerando os pontos em preto, sempre existe um ponto em vermelho que é melhor em pelo menos um dos objetivos, e não é pior no outro objetivo.

pareto

Nesse pequeno exemplo, f1(x) e f2(x) são funções genéricas. Na prática, elas poderiam significar Receita x Risco (em milhões de R$!), Preço x Conforto, entre outras infinidades de objetivos conflitantes que são naturais de qualquer empreendimento.

Diferentemente do exemplo aqui dado, a obtenção da fronteira Pareto não é tarefa simples para os problemas reais. Desse modo, a ENACOM possui uma equipe de pesquisa dedicada ao desenvolvimento de algoritmos de otimização multiobjetivo customizados para os mais diversos problemas da indústria.  Como resultado natural dessa pesquisa aplicada, ao longo dos anos a ENACOM vem contribuindo de maneira sistemática na pesquisa nacional e internacional, criando soluções de ponta para problemas de alto valor agregrado.

Matheus Mendonça. Engenheiro Eletricista graduado pela UFMG. Mestrando na área de Otimização e de Ciência de dados. Líder da Equipe de Otimização da Enacom.

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